7は孤独な数字

森博嗣さんの『すべてがFになる』という作品の冒頭で、こんな会話があります。

「1から10までの数字を二組に分けてごらんなさい。そして、両方とも、グループの数字を全部かけ合わせるの。二つの積が等しくなることがありますか？」

「ありません」萌絵は即答した。「片方のグループには7がありますから、積は7の倍数になりますけど、もう片方には7がないから、等しくはなりません」

「ほら、7だけが孤独でしょう？」真賀田女史が言った。

もし二つのグループの積が等しいなら、全ての数字の総積は必ず平方数になります。

7は素数だし、1から10までの中で自分自身以外の倍数はないので、二つのグループの積が等しくなることはありません。

それなら、7を除くと、積が等しくなることはありますか？と、自然と考えたくなりますね。

検証してみましょう。

確かに真賀田四季が言った通りですw

ちょっと考えてみたら、実はこの問題はある種の Subset sum problem の 積バージョンとなり、NP完全問題ですね。